Concetti fondamentali di dimensionamento della pompa

Prima di acquistare una pompa, è necessario specificare il tipo di pompa e assicurarsi che sia in grado di erogare una determinata portata ad una determinata pressione. Inoltre, sono necessarie ulteriori informazioni per trasformare la conoscenza teorica della meccanica dei fluidi in conoscenza pratica per specificare una pompa. Questa sezione fornisce informazioni pratiche su come specificare una pompa. Tipi di pompe

Tipi di pompa

Esistono due tipi principali di pompe: rotodinamica e volumetrica. In una pompa rotodinamica, una girante rotante trasmette energia al fluido. Il tipo più comune di pompa rotodinamica è la pompa centrifuga (Figura 1). La quantità di liquido che passa attraverso la pompa è inversamente proporzionale alla pressione all'uscita della pompa. In altre parole, la portata in uscita di una pompa rotodinamica varia in modo non lineare con la pressione.

In una pompa volumetrica (PD), una discreta quantità di fluido viene intrappolata, forzata attraverso la pompa e scaricata. Una pompa a ingranaggi è un esempio di pompa PD (Figura 2). Questo principio di pompaggio produce un flusso pulsante, anziché regolare. Il suo flusso in uscita tende a variare poco rispetto alla pressione all'uscita della pompa, perché il meccanismo di spostamento mobile spinge fuori il pezzo di liquido a una velocità costante.

La maggior parte delle pompe di processo sono pompe rotodinamiche, quindi è necessario conoscere la pressione di uscita richiesta per specificare la pompa che fornirà il flusso richiesto. Sebbene alcuni parametri della prevalenza del sistema siano calcolati allo stesso modo, indipendentemente dal fatto che la forza motrice del flusso sia una pompa o la gravità, questo articolo affronta principalmente i problemi di dimensionamento delle pompe rotodinamiche.

Dimensionamento della pompa

Il dimensionamento della pompa implica la corrispondenza della portata e della pressione nominale di una pompa con la portata e la pressione richieste per il processo. La portata di massa del sistema viene stabilita sul diagramma di flusso del processo mediante il bilancio di massa. Per raggiungere questa portata di massa è necessaria una pompa in grado di generare una pressione sufficientemente elevata da superare la resistenza idraulica del sistema di tubi, valvole e così via attraverso cui il liquido deve viaggiare. Questa resistenza idraulica è nota come prevalenza del sistema.

In altre parole, la prevalenza del sistema è la quantità di pressione necessaria per ottenere una determinata portata nel sistema a valle della pompa. Il carico del sistema non è una quantità fissa: più velocemente scorre il liquido, più alto diventa il carico del sistema (per ragioni che verranno discusse più avanti). Tuttavia, è possibile tracciare una curva, nota come curva del sistema, per mostrare la relazione tra flusso e resistenza idraulica per un dato sistema.

Il dimensionamento della pompa, quindi, è la specifica della pressione di uscita richiesta di una pompa rotodinamica (il cui flusso di uscita varia in modo non lineare con la pressione) con una determinata prevalenza del sistema (che varia in modo non lineare con il flusso).

Comprendere la testa del sistema

La prevalenza del sistema dipende dalle proprietà del sistema a cui è collegata la pompa: queste includono la prevalenza statica e la prevalenza dinamica del sistema.

La prevalenza statica è creata da eventuali colonne verticali di liquido collegate alla pompa e da eventuali sistemi pressurizzati collegati all'uscita della pompa. La prevalenza statica esiste in condizioni statiche, con la pompa spenta, e non varia in base alla portata. L'altezza del fluido sopra la linea centrale della pompa può essere determinata dal disegno del layout dell'impianto.

La prevalenza dinamica varia dinamicamente con la portata (e anche con il grado di apertura delle valvole). Il carico dinamico rappresenta l'inefficienza del sistema: perdite di energia dovute all'attrito all'interno di tubi e raccordi e ai cambiamenti di direzione. Questa inefficienza aumenta con il quadrato della velocità media del fluido.

La testa dinamica può essere ulteriormente divisa in due parti. La perdita per attrito mentre il liquido si muove lungo tratti di tubo diritto è chiamata perdita di carico nel tratto rettilineo, mentre la perdita risultante dal passaggio del fluido attraverso raccordi come curve, valvole e così via è chiamata perdita di carico dei raccordi.

Caratterizzare completamente un sistema idraulico è incredibilmente complesso. Ricordate che per specificare una pompa è sufficiente caratterizzare sufficientemente bene l'impianto per scegliere una pompa che svolgerà il lavoro in questione. La precisione che devi essere dipende da dove ti trovi nel processo di progettazione. Se siete nella fase concettuale, potreste evitare del tutto di specificare la pompa, ma l'esperienza suggerisce che dovreste usare regole empiriche per specificare alcuni parametri (come la velocità superficiale) per evitare difficoltà in seguito.

Si consiglia inoltre di progettare il processo in modo che non abbia un flusso a due fasi. Il flusso bifase è difficile da prevedere e, se possibile, dovrebbe essere evitato nella progettazione: le perdite di carico possono essere mille volte superiori a quelle del flusso monofase. L'installazione di fusti ad estrazione nel sistema e la disposizione delle tubazioni in modo che i gas non vengano trascinati nei liquidi possono aiutare a mitigare il flusso bifase.

La velocità superficiale è uguale alla velocità media ed è la portata volumetrica (in m³/sec, ad esempio) diviso per l'area della sezione trasversale interna del tubo (ad esempio, in m²). Un modo molto rapido per iniziare i calcoli idraulici è utilizzare le seguenti velocità superficiali:

• fluidi pompati simili all'acqua: <1,5 m/sec
• fluidi simili all'acqua alimentati per gravità: <1 m/sec
• fluidi simili all'acqua con solidi sedimentabili: >1, <1,5 m/sec
• gas simili all'aria: 20 m/sec

Mantenendo il sistema entro questi intervalli accettabili di velocità superficiale ed evitando il flusso bifase, si produrranno in genere perdite di carico sensibili per le lunghezze dei tubi solitamente presenti negli impianti di processo.

Determinazione delle perdite per attrito attraverso i raccordi

La prevalenza dinamica, o attrito, è pari alla somma della perdita di carico nel tratto rettilineo e della perdita di carico dei raccordi.

La perdita di carico dei raccordi viene calcolata mediante il cosiddetto metodo del valore k. Ogni tipo di valvola, curvatura e raccordo a T ha un coefficiente di resistenza caratteristico, o valore k, che può essere trovato nel Manuale di Perry (1) e in altre fonti (Tabella 1) (2).

Tipo di raccordo	k Valore
Curve a corto raggio, per ogni 22,5 gradi. permettere	0.2
Curve a lungo raggio, per ogni 22,5 gradi. permettere	0.1
Aprire la valvola di isolamento	0.4
Aprire la valvola di controllo	10.8
Tee (flusso dal ramo laterale)	1.2
T (flusso diretto)	0.1
Valvola di non ritorno a battente	1
Entrata brusca	0.5

Per utilizzare questo metodo, contare il numero di valvole sullo schema delle tubazioni e della strumentazione (P&ID) e i raccordi, le curve e i raccordi a T sul disegno del layout dell'impianto per la relativa linea di aspirazione o mandata. Moltiplicare il numero di ciascun tipo di raccordo per il valore k corrispondente e aggiungere i valori k per i vari tipi di raccordi per ottenere il valore k totale. Utilizzare il valore k totale per calcolare la perdita di carico dovuta ai raccordi:

Calcolo della perdita di carico di andata

In una fase più avanzata della progettazione, potresti voler conoscere le dimensioni fisiche di una pompa da provare su un disegno del layout dell'impianto. Un modo semplice per determinare la perdita di carico diretta, la parte più difficile del calcolo della perdita di carico, è utilizzare un nomogramma come la Figura 3 o una tabella. I produttori di tubi (e altri) producono tabelle e nomogrammi che possono essere utilizzati per individuare rapidamente la perdita di carico dovuta all'attrito nei liquidi.

Per utilizzare il nomogramma, usa un righello per tracciare una linea retta attraverso qualsiasi coppia di quantità note per determinare le quantità sconosciute. Ad esempio, per un tubo di diametro nominale di 25 mm con una velocità di flusso di 1 m/sec, la perdita di carico nel tratto rettilineo è di circa 6 m per 100 m di tubo. Quindi la perdita di carico attraverso 10 m di questo tubo è di circa 0,6 mca.

Nelle fasi iniziali della progettazione, spesso è necessario calcolare più volte la perdita di carico sul percorso diretto. Invece di fare riferimento più volte a una tabella o a un nomogramma, può essere più rapido impostare un foglio di calcolo Excel e utilizzare una formula per calcolare il fattore di attrito Darcy e la perdita di carico.

Agli studenti di ingegneria chimica viene solitamente insegnato a trovare il fattore di attrito di Darcy utilizzando un diagramma di Moody, che è un riassunto di un gran numero di esperimenti empirici. È possibile utilizzare equazioni di adattamento della curva e software come Excel per approssimare l'output del diagramma di Moody.

Non confondere il fattore di attrito Darcy con il fattore di attrito Fanning: il fattore di attrito Darcy è per definizione quattro volte il fattore di attrito Fanning. Se decidi di utilizzare un diagramma di Moody per trovare il fattore di attrito, tieni presente quale fattore di attrito si trova sull'asse y.

Preferisco l'approssimazione di Colebrook-White per calcolare il fattore di attrito di Darcy. Sebbene sia un'approssimazione, potrebbe essere più vicino al vero valore sperimentale di quello che la persona media può leggere da un diagramma di Moody.

L'approssimazione di Colebrook-White può essere utilizzata per stimare il fattore di attrito di Darcy (f_D) da numeri di Reynolds superiori a 4.000:

dove d_h è il diametro idraulico del tubo, ε è la rugosità superficiale del tubo e R_e è il numero di Reynolds. Inoltre, ρ è la densità del fluido, D è il diametro interno del tubo e μ è la viscosità fluidodinamica.

L'approssimazione di Colebrook-White può essere utilizzata iterativamente per risolvere il fattore di attrito di Darcy. La funzione Ricerca obiettivo in Excel lo fa in modo rapido e semplice.

L'equazione di Darcy-Weisbach afferma che per un tubo di diametro uniforme, la perdita di carico dovuta ad effetti viscosi (Δp) è proporzionale alla lunghezza (L) e può essere caratterizzata da Δp/L. Questo approccio iterativo consente di calcolare le perdite di carico rettilinee con il grado di precisione richiesto praticamente per qualsiasi applicazione pratica.

Recentemente mi sono imbattuto in un articolo (3) che suggerisce che esistono altre equazioni che forniscono risultati più accurati attraverso l'adattamento della curva rispetto all'approssimazione di Colebrook-White. Se stai producendo il tuo foglio di calcolo per questo scopo, ti suggerisco di esaminare le equazioni di Zigrang e Sylvester (4) o Haaland (5) (Tabella 2). Queste equazioni si applicano anche ai numeri di Reynolds maggiori di 4.000.

Sommando la prevalenza statica, la perdita di carico dei raccordi e la perdita di carico nel tratto rettilineo si otterrà la prevalenza totale che la pompa deve generare per superare la resistenza e fornire la portata specificata al sistema.

Prevalenza e battente netto positivo

Anche in una fase iniziale, consiglio anche di determinare il battente di aspirazione positivo netto richiesto dalla pompa e di calcolare il battente di aspirazione positivo netto (NPSH), poiché possono influenzare molto di più delle specifiche della pompa. L'altezza di aspirazione positiva netta richiesta della pompa tiene in considerazione la pressione del vapore del liquido per evitare la cavitazione nella pompa.

Consiglio di creare un foglio di calcolo Excel che utilizzi l'equazione di Antoine per stimare la pressione di vapore del liquido all'ingresso della pompa e quindi calcolare l'NPSH a tale pressione di vapore. L'equazione di Antoine può essere espressa come:

dove p_v è la pressione di vapore del liquido all'ingresso della pompa, T è la temperatura e A, B e C sono coefficienti che possono essere ottenuti dal database NIST (http://webbook.nist.gov) tra gli altri posti. Inoltre, p_o è la pressione assoluta nel serbatoio di aspirazione, h_o è il livello del liquido nel serbatoio rispetto alla linea centrale della pompa e h_Sf è la perdita di carico dovuta all'attrito sul lato aspirazione della pompa. Si noti che l'NPSH viene calcolato in modo diverso per le pompe centrifughe e volumetriche e che varia con la velocità della pompa per le pompe volumetriche piuttosto che con la pressione come per le pompe centrifughe (l'equazione posta sopra deve essere utilizzata solo con le pompe centrifughe).

Queste equazioni alternative di adattamento della curva introdotte nella sezione seguente possono essere utilizzate al posto dell'equazione di Colebrook-White per determinare il fattore di attrito di Darcy

Equazione	Gamma
f D = ( − 2 log ⁡ [ ε 3.7 − 5.02 Re log ⁡ { ε − 5.02 Re log ⁡ ( ε 3.7 + 13 Re ) } ] ) − 2 f D = − 2 log ⁡ ε 3.7 − 5.02 Re log ⁡ ε − 5.02 Re log ⁡ ε 3.7 + 13 Re − 2 f_(D)=(-2log[(epsi)/(3.7)-(5.02 )/(Re)log{epsi-(5.02 )/(Re)log((epsi)/(3.7)+(13 )/(Re))}])^(-2)	ε = 0.00004 − 0.05 ε = 0.00004 − 0.05 epsi=0.00004-0.05
f D = ( − 1.8 log ⁡ [ ( ε 3.7 ) 1.11 + 6.9 Re ] ) − 2 f D = − 1.8 log ⁡ ε 3.7 1.11 + 6.9 Re − 2 f_(D)=(-1.8 log[((epsi)/(3.7))^(1.11)+(6.9 )/(Re)])^(-2)	ε = 0.000001 − 0.05 ε = 0.000001 − 0.05 epsi=0.000001-0.05

La tabella 3 mostra un esempio per l'acqua. Pressione di vapore per l'acqua a 30°C, calcolata utilizzando l'equazione di Antoine.

Materiale	A A A	B B B	C C C	T , ∘ C T , ∘ C T,^(@)C	T , K T , K T,K	P v P v P_(v), sbarra	P v , P a P v , P a P_(v),Pa
Acqua	5.40221 5.40221 5.40221	1 , 838.675 1 , 838.675 1,838.675	− 31.737 − 31.737 -31.737	30	303.15 303.15 303.15	0.042438 0.042438 0.042438	4 , 243.81 4 , 243.81 4,243.81

Determinazione della potenza della pompa

Dopo aver calcolato la prevalenza del sistema, è possibile utilizzarla per calcolare una potenza nominale approssimativa per una pompa centrifuga:

Il produttore della pompa fornisce i valori nominali precisi di potenza e le dimensioni del motore della pompa, ma gli ingegneri elettrici necessitano di un valore approssimativo di questo valore (e della posizione della pompa) nelle prime fasi del processo di progettazione per consentire loro di dimensionare i cavi di alimentazione. Dovresti essere molto cauto in questo calcolo della potenza (gli ingegneri elettrici saranno molto più felici se torni più tardi per chiedere una potenza nominale inferiore rispetto a una superiore).

In alcune fasi dello sviluppo del progetto, i disegni preliminari vengono modificati per corrispondere alle probabili condizioni idrauliche dell'intero involucro del progetto. Ciò potrebbe richiedere l'esecuzione di molti calcoli idraulici approssimativi prima che il progetto abbia assunto una forma plausibile.

Dopo aver eseguito i calcoli idraulici, potrebbe essere necessario modificare la pompa ed eventualmente le dimensioni dei tubi, così come le pressioni di esercizio minima e massima in determinati punti del sistema. Man mano che la progettazione del sistema diventa più raffinata, potrebbe anche essere necessario passare da un tipo di pompa a un altro.

Reti idrauliche

Le sezioni precedenti descrivono come calcolare la perdita di carico attraverso una singola linea, ma che dire della situazione comune in cui il processo ha linee ramificate, varietà e così via? Quando ciascun ramo gestisce un flusso proporzionale alla sua perdita di carico, e la sua perdita di carico è proporzionale al flusso che lo attraversa, produrre un modello accurato può diventare complesso molto rapidamente. Il mio approccio è quello di semplificare prima e poi migliorare il più possibile il design con alcune regole pratiche:

• Evitare disposizioni multiple che forniscano un percorso diretto dalla linea di alimentazione a una diramazione. È preferibile l'ingresso perpendicolare alla direzione della diramazione.
• Dimensionare i collettori in modo tale che la velocità superficiale non superi mai 1 m/sec alla massima portata prevista.
• Specificare diametri del collettore progressivamente più piccoli per accogliere flussi inferiori verso le diramazioni a valle.
• Includere una piccola restrizione idraulica nel ramo in modo che la perdita di carico nel ramo sia 10-100 volte la perdita di carico attraverso il collettore.
• Ove possibile, prevedere l'equalizzazione passiva del flusso in tutto il sistema di tubazioni rendendo le diramazioni idraulicamente equivalenti.

Eseguire i calcoli delle perdite per ciascuna sezione del progetto semplificato dell'impianto ai flussi previsti per trovare il percorso del flusso con la perdita di carico più elevata. Utilizzare il percorso con la perdita di carico più elevata per determinare il servizio della pompa richiesto: calcolare il servizio della pompa sia al flusso medio con equalizzazione del flusso di lavoro, sia al flusso completo attraverso un singolo ramo. Di solito queste non differiscono molto, e la risposta più rigorosa si trova tra di loro. Solo se i due risultati di questo approccio saranno molto diversi farò un'analisi più rigorosa (e dispendiosa in termini di tempo).

Se è necessaria un'analisi così rigorosa, creo un foglio di calcolo Excel basato sul metodo Hardy Cross - un metodo per determinare il flusso in una rete di tubazioni quando i flussi all'interno della rete sono sconosciuti ma gli input e gli output sono noti - e risolvo per singoli flussi di tubi. La funzione Risolutore di Excel può essere utilizzata per trovare la variazione nel flusso che fornisce una perdita di carico pari a zero. Nell'improbabile caso in cui sia necessario farlo, una spiegazione su come eseguire il metodo può essere trovata nel Rif. 6. Sono disponibili molti programmi informatici per eseguire questi calcoli.

Strumenti per tubazioni (file Excel)

Curve di pompa

Una curva della pompa è un grafico della pressione di uscita in funzione della portata ed è caratteristica di una determinata pompa. L'uso più frequente delle curve di pompa è nella scelta delle pompe centrifughe, poiché la portata di queste pompe varia notevolmente con la pressione del sistema. Le curve della pompa vengono utilizzate molto meno frequentemente per le pompe volumetriche. Una curva di pompa di base traccia la relazione tra prevalenza e portata per una pompa (Figura 4).

In una tipica curva di pompa, la portata (Q) è sull'asse orizzontale e la prevalenza (H) è sull'asse verticale. La curva della pompa mostra la relazione misurata tra queste variabili, per questo a volte viene chiamata curva Q/H. L'intersezione di questa curva con l'asse verticale corrisponde alla testa della valvola chiusa della pompa. Queste curve sono generate dal produttore della pompa in condizioni di prova in officina e rappresentano idealmente i valori medi per un campione rappresentativo di pompe.

Un grafico della prevalenza del sistema su un intervallo di portate, da zero a un valore superiore al flusso massimo richiesto, è chiamato curva del sistema. Per generare una curva del sistema, completare i calcoli della prevalenza del sistema per un intervallo di portate di processo previste. La prevalenza del sistema può essere tracciata sugli stessi assi della curva della pompa. Il punto in cui la curva del sistema e la curva della pompa si intersecano è il punto operativo, o punto di lavoro, della pompa.

Ricordare che una curva di sistema si applica a un intervallo di flussi in una determinata configurazione di sistema. La strozzatura di una valvola nel sistema produrrà una curva di sistema diversa. Se il flusso attraverso il sistema sarà controllato aprendo e chiudendo le valvole, è necessario generare una serie di curve che rappresentano le condizioni operative previste, con una serie corrispondente di punti di lavoro.

punti y. È comune avere efficienza, potenza e NPSH tracciati sullo stesso grafico (Figura 5). Ognuna di queste variabili richiede il proprio asse verticale. Per ottenere l'efficienza della pompa nel punto di lavoro, tracciare una linea verticale dal punto di lavoro alla curva di efficienza, quindi tracciare una linea orizzontale da lì all'asse verticale che corrisponde all'efficienza. Allo stesso modo, per ottenere il fabbisogno di potenza del motore, tracciare una linea dal punto di lavoro alla curva di lavoro del motore.

Curve più sofisticate possono includere curve nidificate che rappresentano la relazione flusso/prevalenza a diverse frequenze di alimentazione (ovvero, la frequenza dell'alimentazione elettrica CA in Hz) o velocità di rotazione, con giranti diverse o per densità di fluido diverse. Le curve per giranti più grandi o rotazione più veloce si trovano sopra le curve per giranti più piccole o rotazione più lenta, mentre le curve per fluidi a densità inferiore si trovano sopra le curve per fluidi a densità più elevata. Una curva della pompa più avanzata potrebbe includere anche i diametri della girante e l'NPSH.

La Figura 6 illustra le curve della pompa per quattro diverse giranti, che vanno da 222 mm a 260 mm. Le curve di potenza corrispondenti per ciascuna girante sono mostrate nella parte inferiore della figura. Le linee tratteggiate nella Figura 6 sono curve di efficienza. Queste curve possono iniziare a creare un po' di confusione, ma il punto importante da tenere a mente è che, proprio come negli esempi più semplici, la portata è sempre su un asse orizzontale comune e il valore corrispondente su qualsiasi curva è verticalmente sopra o sotto la curva. punto di lavoro.

Queste curve più avanzate solitamente incorporano curve di efficienza e queste curve definiscono una regione di massima efficienza. Al centro di questa regione si trova il punto di migliore efficienza (BEP). Scegliere una pompa che abbia un'efficienza accettabile nell'intero intervallo di condizioni operative previste. Si noti che non siamo necessariamente interessati all'intero involucro di progettazione: non è fondamentale avere un'elevata efficienza in tutte le condizioni immaginabili, ma solo nel normale intervallo operativo.

La pompa ottimale per la tua applicazione avrà un BEP vicino al punto di lavoro. Se il punto di lavoro è molto a destra della curva di una pompa, ben lontano dal BEP, non è la pompa giusta per il lavoro. Anche con il fornitore di pompe più collaborativo, a volte le curve necessarie per effettuare la selezione della pompa potrebbero non essere disponibili. Questo è comunemente il caso se si desidera utilizzare un inverter per controllare la potenza della pompa in base alla velocità.

Tuttavia, è spesso possibile generare curve di pompa accettabili utilizzando le curve di cui si dispone e le seguenti relazioni approssimative di affinità della pompa:

dove il pedice 1 designa una condizione iniziale su una curva di pompa nota e il pedice 2 è una nuova condizione. La relazione NPSH presentata è più un'approssimazione delle altre. Il valore di x è compreso tra –2,5 e +1,5 e y è compreso tra +1,5 e +2,5.

Letteratura citata

Quando ho lasciato l'università, ho scoperto che avevo bisogno di ulteriori informazioni per trasformare le mie conoscenze teoriche sulla meccanica dei fluidi in conoscenze pratiche necessarie per specificare una pompa. A giudicare dalle domande che vedo poste quasi ogni settimana su LinkedIn e altrove, credo che questo sia un problema condiviso da molti ingegneri all’inizio della loro carriera. Questo articolo fornisce informazioni pratiche su come specificare una pompa.

Sean Moran (Perizia Ltd).
Dimensionamento della pompa: colmare il divario tra teoria e pratica

SEÁN MORAN ha 25 anni di esperienza nella progettazione, risoluzione dei problemi e messa in servizio di impianti di processo. È stato professore associato e Coordinatore dell'insegnamento del Design presso l'Univ. di Nottingham per quattro anni, ed è attualmente visiting professor presso l'Univ. di Chester. Ha scritto tre libri sulla progettazione di impianti di processo per l'Institution of Chemical Engineers. La sua pratica professionale è ora incentrata sulla qualità di testimone esperto in controversie commerciali riguardanti questioni di progettazione di impianti di processo, anche se di tanto in tanto ha ancora motivo di indossare un elmetto protettivo. Ha conseguito un master in ingegneria biochimica presso l'Univ. Collegio Londra.

1. Perry, RH e DW, G. (2007). Manuale degli ingegneri chimici di Perry, ottava edizione illustrata.New York: McGraw-Hill.
2. Moran, S. (2019).Una guida applicata alla progettazione di processo e di impianto. Elsevier.
3. Genić, S., Aranđelović, I., Kolendić, P., Jarić, M., Budimir, N., & Genić, V. (2011). Una revisione delle approssimazioni esplicite dell'equazione di Colebrook.Transazioni FME,39(2), 67-71.
4. Zigrang, DJ e Sylvester, ND (1982). Approssimazioni esplicite alla soluzione dell'equazione del fattore di attrito di Colebrook.Giornale dell'AIChE,28(3), 514-515.
5. Haaland, SE (1983). Formule semplici ed esplicite per il fattore di attrito nel flusso turbolento di tubazioni.
6. Huddleston, DH, Alarcon, VJ e Chen, W. (2004). Un foglio di calcolo sostitutivo per l'analisi del sistema di tubazioni Hardy-Cross in idraulica universitaria. InTransizioni critiche nella gestione delle risorse idriche e ambientali(pagg. 1-8).