Demystifying Solar Position and Sunrise/Sunset Calculations

La determinazione accurata della posizione solare è essenziale in vari campi, tra cui la produzione di energia solare, l'architettura, l'agricoltura e persino la fotografia. Comprendendo la posizione del sole in qualsiasi momento e luogo, possiamo ottimizzare l'efficienza dei pannelli solari, progettare edifici con una migliore illuminazione naturale, pianificare programmi di semina delle colture e catturare splendide albe e tramonti nella fotografia.

In questo post del blog tratteremo le equazioni e i calcoli necessari per determinare le posizioni solari e prevedere gli orari di alba e tramonto. Con questi strumenti sarai ben attrezzato per applicare queste conoscenze in varie applicazioni e prendere decisioni più informate in base alla posizione del sole.

Calcoli della posizione solare

Calcolo dell'anno frazionario (γ)

Definition and Purpose

The fractional year ($\gamma$) represents a specific moment in the year as an angular measurement in radians. This value serves as a critical input for solar position algorithms, enabling accurate calculations of:

• Solar declination angle
• Equation of time
• Solar zenith and azimuth angles
• Solar radiation intensity

The fractional year effectively translates calendar dates into a continuous mathematical value that accounts for Earth’s position in its orbit around the Sun.

Mathematical Formulation

For a non-leap year (365 days), the fractional year is calculated using:

$$\gamma = \frac{2\pi}{365} \times (d-1+\frac{h-12}{24})$$

For a leap year (366 days), the formula is adjusted to:

$$\gamma = \frac{2\pi}{366} \times (d-1+\frac{h-12}{24})$$

Dove:

• $d$ = day of year (1-365 or 1-366)
• $h$ = hour of the day in 24-hour format (0-23)
• $\gamma$ = fractional year in radians (0-2π)

Components Explanation

• $\frac{2\pi}{365}$ (or $\frac{2\pi}{366}$): Converts the day count to radians, representing a full orbital cycle
• $(d-1)$: Adjusts the day count to start from 0 (January 1 becomes day 0)
• $\frac{h-12}{24}$: Provides hourly precision by adjusting for the time of day relative to solar noon

Example Calculations

1. January 1 at 12:00 noon (non-leap year):
   • $d = 1$, $h = 12$
   • $\gamma = \frac{2\pi}{365} \times (1-1+\frac{12-12}{24}) = 0$ radians
2. July 2 at 15:00 (non-leap year):
   • $d = 183$, $h = 15$
   • $\gamma = \frac{2\pi}{365} \times (183-1+\frac{15-12}{24}) = \frac{2\pi}{365} \times 182.125 \approx 3.14$ radians
3. December 31 at 23:00 (leap year):
   • $d = 366$, $h = 23$
   • $\gamma = \frac{2\pi}{366} \times (366-1+\frac{23-12}{24}) = \frac{2\pi}{366} \times 365.458 \approx 6.28$ radians

Implementation Considerations

1. When implementing this calculation in code, determine if the current year is a leap year
2. Calculate the day of year from month and day

The fractional year calculation serves as the foundation for subsequent solar position calculations, including the equation of time and solar declination angle, which are essential for precise solar engineering applications.

Equation of Time

The equation of time represents the discrepancy between apparent solar time (measured by sundials) and mean solar time (measured by clocks). This variation occurs due to two primary astronomical phenomena:

1. The Earth’s elliptical orbit around the Sun
2. The 23.44° tilt of Earth’s rotational axis

This results in the Sun appearing to move faster or slower across the sky throughout the year compared to a constant 24-hour solar day. The equation of time is typically expressed in minutes.

Earth’s elliptical orbit

Solar Declination Angle

The solar declination angle ($\delta$) is the angle between the Sun’s rays and the Earth’s equatorial plane. This angle varies seasonally due to Earth’s axial tilt as it orbits the Sun:

• Summer solstice (Northern Hemisphere): $\delta = +23.44°$
• Winter solstice (Northern Hemisphere): $\delta = -23.44°$
• Equinoxes: $\delta = 0°$

Solar declination angle

Mathematical Formulation

For precise calculations, we use the fractional year ($\gamma$) as input, measured in radians:

$$\gamma = \frac{2\pi}{365}(d-1+\frac{h-12}{24})$$

Dove:

• $d$ = day of year [1-365]
• $h$ = hour of the day [0-23]

Equation of Time Formula

The equation of time (in minutes) can be calculated using:

$$E_t = 229.18 \times (0.000075 + 0.001868\cos\gamma – 0.032077\sin\gamma – 0.014615\cos2\gamma – 0.040849\sin2\gamma)$$

Solar Declination Angle Formula

The solar declination angle (in radians) can be calculated using:

$$\delta = 0.006918 – 0.399912\cos\gamma + 0.070257\sin\gamma – 0.006758\cos2\gamma + 0.000907\sin2\gamma – 0.002697\cos3\gamma + 0.00148\sin3\gamma$$

Applications

These calculations are fundamental for:

1. Solar energy systems positioning
2. Building energy simulations
3. Solar radiation modeling
4. Agricultural planning
5. Climate studies

Example Calculation

For March 17 (day 76 of the year) at 12:00 noon:

$\gamma = \frac{2\pi}{365}(76-1+\frac{12-12}{24}) = 1.296$ radians

Equation of time:
$E_t = 229.18 \times (0.000075 + 0.001868\cos(1.296) – 0.032077\sin(1.296) – 0.014615\cos(2 \times 1.296) – 0.040849\sin(2 \times 1.296)) = -9.1$ minutes

Solar declination:
$\delta = 0.006918 – 0.399912\cos(1.296) + 0.070257\sin(1.296) – 0.006758\cos(2 \times 1.296) + 0.000907\sin(2 \times 1.296) – 0.002697\cos(3 \times 1.296) + 0.00148\sin(3 \times 1.296) = -0.04$ radians ($\approx -2.3°$)

These values indicate that on March 17, a sundial will be approximately 9.1 minutes behind a clock, and the Sun’s rays make an angle of about -2.3° with the Earth’s equatorial plane.

Calcolo dell'ora solare vera

Definition and Importance

True Solar Time (TST) represents the actual position of the Sun in the sky relative to a specific Earth location. Unlike standard clock time, which divides each day into uniform 24-hour periods, true solar time reflects the Sun’s apparent movement across the local meridian. This measurement is fundamental for:

• Solar energy applications
• Photovoltaic system optimization
• Building energy performance analysis
• Daylighting studies
• Agricultural planning

At true solar noon, the Sun reaches its highest position in the sky, directly above the observer’s local meridian.

Mathematical Formulation

True solar time calculations require several inputs and intermediate steps:

Time Offset Calculation

The time offset (in minutes) between local standard time and true solar time is calculated as:

$$\text{time_offset} = E_t + 4 \times \lambda – 60 \times \text{TZ}$$

Dove:

• $E_t$ = equation of time (minutes)
• $\lambda$ = observer’s longitude (degrees, positive eastward)
• $\text{TZ}$ = timezone offset from UTC (hours)

The factor of 4 converts longitude degrees to minutes of time (since Earth rotates at 15° per hour, or 1° per 4 minutes).

True Solar Time Calculation

Once the time offset is determined, true solar time (in minutes since midnight) is calculated as:

$$\text{TST} = h \times 60 + m + \frac{s}{60} + \text{time_offset}$$

Dove:

• $h$ = hour in 24-hour format (0-23)
• $m$ = minutes (0-59)
• $s$ = seconds (0-59)

Solar Hour Angle

From true solar time, the solar hour angle ($\omega$) in radians can be derived:

$$\omega = (\text{TST}/4 – 180) \times \frac{\pi}{180}$$

The solar hour angle represents the angular displacement of the Sun east or west of the local meridian due to Earth’s rotation, with morning being negative and afternoon being positive.

Example Calculation

For a location at longitude 2.15° E, in the CET timezone (UTC+1), on March 17 at 14:30:00, with equation of time = -9.1 minutes:

1. Calculate time offset:

$$\text{time_offset} = -9.1 + 4 \times 2.15 – 60 \times 1 = -9.1 + 8.6 – 60 = -60.5 \text{ minutes}$$

2. Calculate true solar time:

$$\text{TST} = 14 \times 60 + 30 + \frac{0}{60} + (-60.5) = 840 + 30 – 60.5 = 809.5 \text{ minutes}$$

This equals 13 hours, 29.5 minutes in true solar time.

3. Calculate solar hour angle:

$$\omega = (809.5/4 – 180) \times \frac{\pi}{180} = (202.375 – 180) \times \frac{\pi}{180} = 22.375 \times \frac{\pi}{180} = 0.39 \text{ radians}$$

Practical Considerations

1. Longitude Correction: The 4-minute correction per degree of longitude accounts for Earth’s rotation rate (15° per hour).
2. Daylight Saving Time: When daylight saving time is in effect, add 60 minutes to the timezone offset.
3. Solar Noon: True solar noon occurs when TST = 12 hours (720 minutes).
4. Diurnal Arc: The period when the Sun is above the horizon can be determined using true solar time in conjunction with the solar declination angle.

True solar time forms the foundation for calculating the precise position of the Sun in the sky, which is essential for optimizing solar energy systems and designing energy-efficient buildings.nd, we can proceed to calculate other essential solar parameters, such as the solar hour angle, and ultimately the solar zenith and azimuth angles.

Trovare l'angolo orario solare

L'angolo orario solare è una misura della posizione del sole nel cielo rispetto al meridiano locale dell'osservatore. È espresso in gradi e rappresenta il tempo trascorso (in ore) dal mezzogiorno solare, dove ogni ora corrisponde a 15 gradi di rotazione. L'angolo orario solare è un parametro essenziale per calcolare gli angoli di zenit e azimut solare, che forniscono la posizione precisa del sole nel cielo in un dato luogo e ora.

L'equazione per l'angolo orario solare (ha) è la seguente:

ha = (tst / 4) – 180

In questa equazione, tst è il vero tempo solare calcolato nella sezione precedente, espresso in minuti. L'angolo orario solare (ha) varia da -180 gradi a mezzanotte solare a +180 gradi a mezzogiorno solare.

Determinando l'angolo orario solare, possiamo usarlo insieme ad altri parametri come l'angolo di declinazione solare e la latitudine dell'osservatore per calcolare gli angoli di zenith e azimut solare, fornendo una comprensione completa della posizione del sole nel cielo.

Calcolo degli angoli zenitale e azimutale del sole

L'angolo zenitale solare (Φ) è l'angolo tra i raggi del sole e una linea perpendicolare alla superficie terrestre (lo zenit) in un luogo e un tempo specifici. Viene misurato direttamente dall'alto (0 gradi) fino all'orizzonte (90 gradi). L'angolo zenitale solare fornisce informazioni sull'elevazione del sole nel cielo ed è essenziale per varie applicazioni, tra cui la produzione di energia solare e la progettazione architettonica.

L'angolo di azimut solare (θ) rappresenta la posizione del sole nel cielo rispetto alla posizione dell'osservatore, misurata in gradi in senso orario da nord. Questo angolo aiuta a determinare la direzione del sole nel cielo ed è fondamentale per posizionare accuratamente i pannelli solari e comprendere il percorso del sole durante il giorno.

Utilizzando l'angolo orario solare (ha), la latitudine (lat) e l'angolo di declinazione solare (decl) calcolati nelle sezioni precedenti, possiamo trovare l'angolo zenitale solare (Φ) utilizzando la seguente equazione:

cos(Φ) = sin(lat) * sin(decl) + cos(lat) * cos(decl) * cos(ha)

Per calcolare l'angolo di azimut solare (θ), utilizziamo la seguente equazione:

cos(180 – 𝜃) = – (sin(lat) * cos(Φ) – sin(decl) * cos(lat) * sin(Φ)) / (cos(decl) * cos(Φ))

Determinando sia lo zenith solare che l'angolo azimutale, otteniamo una comprensione completa della posizione del sole nel cielo in qualsiasi luogo e momento, il che è essenziale per varie applicazioni, come l'ottimizzazione dell'orientamento dei pannelli solari e la previsione dei modelli di luce solare nella progettazione architettonica.

Calcoli di alba e tramonto

Impostazione dello zenit per alba/tramonto

Quando si calcolano gli orari di alba e tramonto, è necessario regolare l'angolo zenitale solare per tenere conto di fattori specifici che influenzano il momento in cui il sole appare o scompare sotto l'orizzonte. L'angolo dello zenith solare è impostato su 90,833° per i calcoli dell'alba e del tramonto. Questo valore rappresenta una correzione che tiene conto di due fattori principali:

• Rifrazione atmosferica: Quando la luce solare attraversa l'atmosfera terrestre, il suo percorso viene deviato, facendo apparire il sole leggermente più alto nel cielo rispetto alla sua posizione effettiva. L'effetto di flessione è più significativo quando il sole è vicino all'orizzonte, come durante l'alba e il tramonto. La correzione di 0,833° spiega questo effetto di rifrazione.
• Dimensione del disco solare: Il sole appare come un disco nel cielo, piuttosto che come un singolo punto luminoso. Di conseguenza, l'alba è definita come il momento in cui il bordo superiore del disco solare appare sopra l'orizzonte, mentre il tramonto è quando il bordo superiore scompare sotto l'orizzonte. La correzione di 0,000° tiene conto del diametro angolare del sole, che è di circa 0,53°.

Impostando lo zenit a 90,833° per i calcoli dell'alba e del tramonto, possiamo determinare con precisione l'ora in cui si verificano questi eventi, tenendo conto della rifrazione atmosferica e del diametro angolare del sole.

Calcolo dell'angolo orario per alba/tramonto

Per calcolare l'angolo orario dell'alba e del tramonto utilizziamo la seguente equazione:

ha = ± arccos{ (cos(90.833) / (cos(lat) * cos(decl))) – (tan(lat) * tan(decl)) }

In questa equazione, lat rappresenta la latitudine dell'osservatore e decl rappresenta l'angolo di declinazione solare. Il valore positivo dell'angolo orario (ha) corrisponde all'alba, mentre il valore negativo corrisponde al tramonto.

Determinazione dell'ora UTC dell'alba e del tramonto

Per determinare l'ora UTC dell'alba (o del tramonto), utilizziamo la seguente equazione:

alba = 720 – 4 * (longitudine + ha) – eqtime

In questa equazione, la longitudine rappresenta la longitudine dell'osservatore in gradi (positiva a est del Primo Meridiano), ha è l'angolo orario calcolato nel passaggio precedente ed eqtime è l'equazione del tempo (in minuti). Per calcolare l'ora del tramonto si usa la stessa equazione, con il valore negativo di ha.

L'importanza della longitudine, dell'angolo orario e dell'equazione del tempo nel calcolo risiede nel loro contributo nel determinare con precisione la posizione del sole rispetto alla posizione dell'osservatore sulla Terra. La longitudine aiuta a tenere conto della rotazione della Terra, garantendo che il calcolo sia specifico per la posizione geografica dell'osservatore. L'angolo orario rappresenta il tempo trascorso dal mezzogiorno solare, che è fondamentale per determinare la posizione del sole nel cielo. L'equazione del tempo tiene conto delle variazioni dell'orbita terrestre e dell'inclinazione assiale, che influenzano il movimento apparente del sole nel cielo. Incorporando questi fattori nel calcolo, possiamo determinare con precisione l'ora UTC dell'alba e del tramonto per qualsiasi luogo sulla Terra.

È importante notare che il risultato dell'equazione è espresso in ora UTC, quindi potrebbe essere necessario convertirlo nell'ora locale, considerando l'ora legale, se applicabile, per ottenere l'ora esatta dell'alba o del tramonto per la tua posizione specifica.

In sintesi, la combinazione di longitudine, angolo orario ed equazione del tempo nei calcoli dell'alba e del tramonto fornisce una comprensione precisa di questi eventi, che è essenziale per varie applicazioni, come l'ottimizzazione della produzione di energia solare, la pianificazione di attività all'aperto o la previsione della luce del giorno. ore per scopi agricoli.

Calcolo del mezzogiorno solare

Il mezzogiorno solare è il momento in cui il sole si trova nel punto più alto nel cielo in una posizione specifica, direttamente sopra il meridiano locale. È l'ora in cui il sole è esattamente rivolto a nord o a sud (a seconda della latitudine dell'osservatore) e in cui le ombre sono più corte. Il mezzogiorno solare è essenziale per varie applicazioni, come l'allineamento dei pannelli solari e la progettazione architettonica, poiché rappresenta il picco di elevazione giornaliera del sole.

L'equazione per il mezzogiorno solare (mezzogiorno) è la seguente:

mezzogiorno = 720 – 4 * longitudine – eqtime

In questa equazione, la longitudine rappresenta la longitudine dell'osservatore in gradi (positiva a est del Primo Meridiano) e eqtime è l'equazione del tempo (in minuti). Il risultato indica l'ora del mezzogiorno solare in UTC, che può essere convertita nell'ora locale secondo necessità.

Conclusione

Comprendere la posizione solare e i calcoli di alba/tramonto è vitale per numerose applicazioni, come l'ottimizzazione della produzione di energia solare, la progettazione architettonica, l'agricoltura e la pianificazione di eventi all'aperto. Le equazioni e i concetti forniti in questo post del blog ti consentono di determinare con precisione la posizione del sole nel cielo e i tempi dell'alba, del tramonto e del mezzogiorno solare per qualsiasi luogo sulla Terra.

Incoraggiamo i lettori a utilizzare queste equazioni e concetti nei propri progetti o ricerche, poiché offrono preziose informazioni sul comportamento del sole e sul suo impatto sulla nostra vita quotidiana. I calcoli accurati della posizione solare e dell’alba/tramonto possono apportare vantaggi significativi ai campi dell’ingegneria legati all’energia solare, come la progettazione di sistemi fotovoltaici e le applicazioni solari termiche, consentendo l’ottimizzazione dell’orientamento dei pannelli solari, massimizzando la cattura di energia e migliorando l’efficienza complessiva del sistema. Inoltre, questi calcoli possono contribuire alla progettazione architettonica, consentendo un migliore utilizzo della luce naturale e del riscaldamento solare passivo, che può portare a un risparmio energetico e a un maggiore comfort degli occupanti.