Entmystifizierung der Sonnenposition und Berechnungen von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang

Die genaue Bestimmung des Sonnenstandes ist in verschiedenen Bereichen von entscheidender Bedeutung, darunter in der Solarenergieerzeugung, in der Architektur, in der Landwirtschaft und sogar in der Fotografie. Indem wir den Stand der Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt und an einem bestimmten Ort verstehen, können wir die Effizienz von Solarpaneelen optimieren, Gebäude mit besserer natürlicher Beleuchtung entwerfen, Pflanzpläne für Pflanzen planen und atemberaubende Sonnenaufgänge und Sonnenuntergänge fotografisch festhalten.

In diesem Blogbeitrag behandeln wir die notwendigen Gleichungen und Berechnungen zur Bestimmung des Sonnenstandes und zur Vorhersage der Sonnenauf- und -untergangszeiten. Mit diesen Tools sind Sie gut gerüstet, um dieses Wissen in verschiedenen Anwendungen anzuwenden und fundiertere Entscheidungen auf der Grundlage des Sonnenstands zu treffen.

Berechnungen der Sonnenposition

Berechnung des Bruchjahres (γ)

Definition and Purpose

The fractional year ($\gamma$) represents a specific moment in the year as an angular measurement in radians. This value serves as a critical input for solar position algorithms, enabling accurate calculations of:

• Solar declination angle
• Equation of time
• Solar zenith and azimuth angles
• Solar radiation intensity

The fractional year effectively translates calendar dates into a continuous mathematical value that accounts for Earth’s position in its orbit around the Sun.

Mathematical Formulation

For a non-leap year (365 days), the fractional year is calculated using:

$$\gamma = \frac{2\pi}{365} \times (d-1+\frac{h-12}{24})$$

For a leap year (366 days), the formula is adjusted to:

$$\gamma = \frac{2\pi}{366} \times (d-1+\frac{h-12}{24})$$

Where:

• $d$ = day of year (1-365 or 1-366)
• $h$ = hour of the day in 24-hour format (0-23)
• $\gamma$ = fractional year in radians (0-2π)

Components Explanation

• $\frac{2\pi}{365}$ (or $\frac{2\pi}{366}$): Converts the day count to radians, representing a full orbital cycle
• $(d-1)$: Adjusts the day count to start from 0 (January 1 becomes day 0)
• $\frac{h-12}{24}$: Provides hourly precision by adjusting for the time of day relative to solar noon

Example Calculations

1. January 1 at 12:00 noon (non-leap year):
   • $d = 1$, $h = 12$
   • $\gamma = \frac{2\pi}{365} \times (1-1+\frac{12-12}{24}) = 0$ radians
2. July 2 at 15:00 (non-leap year):
   • $d = 183$, $h = 15$
   • $\gamma = \frac{2\pi}{365} \times (183-1+\frac{15-12}{24}) = \frac{2\pi}{365} \times 182.125 \approx 3.14$ radians
3. December 31 at 23:00 (leap year):
   • $d = 366$, $h = 23$
   • $\gamma = \frac{2\pi}{366} \times (366-1+\frac{23-12}{24}) = \frac{2\pi}{366} \times 365.458 \approx 6.28$ radians

Implementation Considerations

1. When implementing this calculation in code, determine if the current year is a leap year
2. Calculate the day of year from month and day

The fractional year calculation serves as the foundation for subsequent solar position calculations, including the equation of time and solar declination angle, which are essential for precise solar engineering applications.

Equation of Time

The equation of time represents the discrepancy between apparent solar time (measured by sundials) and mean solar time (measured by clocks). This variation occurs due to two primary astronomical phenomena:

1. The Earth’s elliptical orbit around the Sun
2. The 23.44° tilt of Earth’s rotational axis

This results in the Sun appearing to move faster or slower across the sky throughout the year compared to a constant 24-hour solar day. The equation of time is typically expressed in minutes.

Earth’s elliptical orbit

Solar Declination Angle

The solar declination angle ($\delta$) is the angle between the Sun’s rays and the Earth’s equatorial plane. This angle varies seasonally due to Earth’s axial tilt as it orbits the Sun:

• Summer solstice (Northern Hemisphere): $\delta = +23.44°$
• Winter solstice (Northern Hemisphere): $\delta = -23.44°$
• Equinoxes: $\delta = 0°$

Solar declination angle

Mathematical Formulation

For precise calculations, we use the fractional year ($\gamma$) as input, measured in radians:

$$\gamma = \frac{2\pi}{365}(d-1+\frac{h-12}{24})$$

Where:

• $d$ = day of year [1-365]
• $h$ = hour of the day [0-23]

Equation of Time Formula

The equation of time (in minutes) can be calculated using:

$$E_t = 229.18 \times (0.000075 + 0.001868\cos\gamma – 0.032077\sin\gamma – 0.014615\cos2\gamma – 0.040849\sin2\gamma)$$

Solar Declination Angle Formula

The solar declination angle (in radians) can be calculated using:

$$\delta = 0.006918 – 0.399912\cos\gamma + 0.070257\sin\gamma – 0.006758\cos2\gamma + 0.000907\sin2\gamma – 0.002697\cos3\gamma + 0.00148\sin3\gamma$$

Applications

These calculations are fundamental for:

1. Solar energy systems positioning
2. Building energy simulations
3. Solar radiation modeling
4. Agricultural planning
5. Climate studies

Example Calculation

For March 17 (day 76 of the year) at 12:00 noon:

$\gamma = \frac{2\pi}{365}(76-1+\frac{12-12}{24}) = 1.296$ radians

Equation of time:
$E_t = 229.18 \times (0.000075 + 0.001868\cos(1.296) – 0.032077\sin(1.296) – 0.014615\cos(2 \times 1.296) – 0.040849\sin(2 \times 1.296)) = -9.1$ minutes

Solar declination:
$\delta = 0.006918 – 0.399912\cos(1.296) + 0.070257\sin(1.296) – 0.006758\cos(2 \times 1.296) + 0.000907\sin(2 \times 1.296) – 0.002697\cos(3 \times 1.296) + 0.00148\sin(3 \times 1.296) = -0.04$ radians ($\approx -2.3°$)

These values indicate that on March 17, a sundial will be approximately 9.1 minutes behind a clock, and the Sun’s rays make an angle of about -2.3° with the Earth’s equatorial plane.

Berechnung der wahren Sonnenzeit

Definition and Importance

True Solar Time (TST) represents the actual position of the Sun in the sky relative to a specific Earth location. Unlike standard clock time, which divides each day into uniform 24-hour periods, true solar time reflects the Sun’s apparent movement across the local meridian. This measurement is fundamental for:

• Solar energy applications
• Photovoltaic system optimization
• Building energy performance analysis
• Daylighting studies
• Agricultural planning

At true solar noon, the Sun reaches its highest position in the sky, directly above the observer’s local meridian.

Mathematical Formulation

True solar time calculations require several inputs and intermediate steps:

Time Offset Calculation

The time offset (in minutes) between local standard time and true solar time is calculated as:

$$\text{time_offset} = E_t + 4 \times \lambda – 60 \times \text{TZ}$$

Where:

• $E_t$ = equation of time (minutes)
• $\lambda$ = observer’s longitude (degrees, positive eastward)
• $\text{TZ}$ = timezone offset from UTC (hours)

The factor of 4 converts longitude degrees to minutes of time (since Earth rotates at 15° per hour, or 1° per 4 minutes).

True Solar Time Calculation

Once the time offset is determined, true solar time (in minutes since midnight) is calculated as:

$$\text{TST} = h \times 60 + m + \frac{s}{60} + \text{time_offset}$$

Where:

• $h$ = hour in 24-hour format (0-23)
• $m$ = minutes (0-59)
• $s$ = seconds (0-59)

Solar Hour Angle

From true solar time, the solar hour angle ($\omega$) in radians can be derived:

$$\omega = (\text{TST}/4 – 180) \times \frac{\pi}{180}$$

The solar hour angle represents the angular displacement of the Sun east or west of the local meridian due to Earth’s rotation, with morning being negative and afternoon being positive.

Example Calculation

For a location at longitude 2.15° E, in the CET timezone (UTC+1), on March 17 at 14:30:00, with equation of time = -9.1 minutes:

1. Calculate time offset:

$$\text{time_offset} = -9.1 + 4 \times 2.15 – 60 \times 1 = -9.1 + 8.6 – 60 = -60.5 \text{ minutes}$$

2. Calculate true solar time:

$$\text{TST} = 14 \times 60 + 30 + \frac{0}{60} + (-60.5) = 840 + 30 – 60.5 = 809.5 \text{ minutes}$$

This equals 13 hours, 29.5 minutes in true solar time.

3. Calculate solar hour angle:

$$\omega = (809.5/4 – 180) \times \frac{\pi}{180} = (202.375 – 180) \times \frac{\pi}{180} = 22.375 \times \frac{\pi}{180} = 0.39 \text{ radians}$$

Practical Considerations

1. Longitude Correction: The 4-minute correction per degree of longitude accounts for Earth’s rotation rate (15° per hour).
2. Daylight Saving Time: When daylight saving time is in effect, add 60 minutes to the timezone offset.
3. Solar Noon: True solar noon occurs when TST = 12 hours (720 minutes).
4. Diurnal Arc: The period when the Sun is above the horizon can be determined using true solar time in conjunction with the solar declination angle.

True solar time forms the foundation for calculating the precise position of the Sun in the sky, which is essential for optimizing solar energy systems and designing energy-efficient buildings.nd, we can proceed to calculate other essential solar parameters, such as the solar hour angle, and ultimately the solar zenith and azimuth angles.

Ermitteln des Sonnenstundenwinkels

Der Sonnenstundenwinkel ist ein Maß für die Position der Sonne am Himmel relativ zum lokalen Meridian des Beobachters. Sie wird in Grad ausgedrückt und stellt die seit Sonnenmittag verstrichene Zeit (in Stunden) dar, wobei jede Stunde einer Rotation von 15 Grad entspricht. Der Sonnenstundenwinkel ist ein wesentlicher Parameter zur Berechnung des Zenit- und Azimutwinkels der Sonne, der die genaue Position der Sonne am Himmel an einem bestimmten Ort und zu einer bestimmten Zeit liefert.

Die Gleichung für den Sonnenstundenwinkel (ha) lautet wie folgt:

ha = (tst / 4) – 180

In dieser Gleichung ist tst die im vorherigen Abschnitt berechnete wahre Sonnenzeit, ausgedrückt in Minuten. Der Sonnenstundenwinkel (ha) reicht von -180 Grad zur Sonnenmitternacht bis +180 Grad zur Sonnenmittag.

Durch die Bestimmung des Sonnenstundenwinkels können wir ihn zusammen mit anderen Parametern wie dem Sonnendeklinationswinkel und dem Breitengrad des Beobachters verwenden, um den Zenit- und Azimutwinkel der Sonne zu berechnen und so ein vollständiges Verständnis der Position der Sonne am Himmel zu erhalten.

Berechnung des Zenit- und Azimutwinkels der Sonne

Der Sonnenzenitwinkel (Φ) ist der Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und einer Linie senkrecht zur Erdoberfläche (dem Zenit) an einem bestimmten Ort und zu einer bestimmten Zeit. Sie wird direkt über dem Kopf (0 Grad) bis zum Horizont (90 Grad) gemessen. Der Zenitwinkel der Sonne liefert Informationen über die Höhe der Sonne am Himmel und ist für verschiedene Anwendungen, einschließlich Solarenergieproduktion und Architekturdesign, von wesentlicher Bedeutung.

Der Sonnenazimutwinkel (θ) stellt die Position der Sonne am Himmel relativ zum Standort des Beobachters dar, gemessen in Grad im Uhrzeigersinn von Norden aus. Dieser Winkel hilft bei der Bestimmung der Richtung der Sonne am Himmel und ist entscheidend für die genaue Positionierung von Solarmodulen und das Verständnis des Sonnenlaufs im Tagesverlauf.

Unter Verwendung des Sonnenstundenwinkels (ha), der Breite (lat) und des Sonnendeklinationswinkels (decl), die in den vorherigen Abschnitten berechnet wurden, können wir den Sonnenzenitwinkel (Φ) mithilfe der folgenden Gleichung ermitteln:

cos(Φ) = sin(lat) * sin(decl) + cos(lat) * cos(decl) * cos(ha)

Um den Sonnenazimutwinkel (θ) zu berechnen, verwenden wir die folgende Gleichung:

cos(180 – 𝜃) = – (sin(lat) * cos(Φ) – sin(decl) * cos(lat) * sin(Φ)) / (cos(decl) * cos(Φ))

Durch die Bestimmung sowohl des Zenit- als auch des Azimutwinkels der Sonne erhalten wir ein vollständiges Verständnis der Position der Sonne am Himmel an einem bestimmten Ort und zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dies ist für verschiedene Anwendungen von entscheidender Bedeutung, beispielsweise für die Optimierung der Ausrichtung von Solarmodulen und die Vorhersage von Sonnenlichtmustern im Architekturdesign.

Berechnungen von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang

Den Zenit für Sonnenaufgang/Sonnenuntergang einstellen

Bei der Berechnung der Sonnenauf- und -untergangszeiten muss der Zenitwinkel der Sonne angepasst werden, um bestimmte Faktoren zu berücksichtigen, die den Zeitpunkt beeinflussen, in dem die Sonne unter dem Horizont erscheint oder verschwindet. Der Zenitwinkel der Sonne ist für die Berechnung von Sonnenauf- und -untergang auf 90,833° eingestellt. Dieser Wert stellt eine Korrektur dar, die zwei Hauptfaktoren berücksichtigt:

• Atmosphärische Brechung: Wenn Sonnenlicht durch die Erdatmosphäre dringt, wird seine Bahn gebogen, wodurch die Sonne etwas höher am Himmel erscheint als ihre tatsächliche Position. Der Biegeeffekt ist stärker ausgeprägt, wenn die Sonne nahe am Horizont steht, beispielsweise bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang. Die 0,833°-Korrektur trägt diesem Brechungseffekt Rechnung.
• Größe der Solarscheibe: Die Sonne erscheint als Scheibe am Himmel und nicht als einzelner Lichtpunkt. Folglich ist Sonnenaufgang der Zeitpunkt, an dem der obere Rand der Sonnenscheibe über dem Horizont erscheint, und Sonnenuntergang, wenn der obere Rand unter dem Horizont verschwindet. Die 0,000°-Korrektur berücksichtigt den Winkeldurchmesser der Sonne, der etwa 0,53° beträgt.

Indem wir den Zenit für Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangsberechnungen auf 90,833° einstellen, können wir den Zeitpunkt, zu dem diese Ereignisse auftreten, genau bestimmen und dabei die atmosphärische Brechung und den Winkeldurchmesser der Sonne berücksichtigen.

Berechnung des Stundenwinkels für Sonnenaufgang/-untergang

Um den Stundenwinkel für Sonnenaufgang und Sonnenuntergang zu berechnen, verwenden wir die folgende Gleichung:

ha = ± arccos{ (cos(90,833) / (cos(lat) * cos(decl))) – (tan(lat) * tan(decl)) }

In dieser Gleichung stellt Lat den Breitengrad des Beobachters dar und Decl den Deklinationswinkel der Sonne. Der positive Wert des Stundenwinkels (ha) entspricht dem Sonnenaufgang, während der negative Wert dem Sonnenuntergang entspricht.

Bestimmung der UTC-Zeit von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang

Um die UTC-Zeit des Sonnenaufgangs (oder Sonnenuntergangs) zu bestimmen, verwenden wir die folgende Gleichung:

Sonnenaufgang = 720 – 4 * (Längengrad + ha) – Äqzeit

In dieser Gleichung stellt der Längengrad den Längengrad des Beobachters in Grad dar (positiv östlich des Nullmeridians), ha ist der im vorherigen Schritt berechnete Stundenwinkel und eqtime ist die Zeitgleichung (in Minuten). Für die Berechnung des Zeitpunkts des Sonnenuntergangs wird dieselbe Gleichung verwendet, jedoch mit dem negativen Wert von ha.

Die Bedeutung von Längengrad, Stundenwinkel und Zeitgleichung bei der Berechnung liegt in ihrem Beitrag zur genauen Bestimmung der Sonnenposition relativ zum Standort des Beobachters auf der Erde. Der Längengrad hilft bei der Berücksichtigung der Erdrotation und stellt sicher, dass die Berechnung spezifisch für den geografischen Standort des Beobachters ist. Der Stundenwinkel stellt die seit Sonnenmittag verstrichene Zeit dar, die für die Bestimmung des Sonnenstandes am Himmel entscheidend ist. Die Zeitgleichung berücksichtigt Schwankungen der Erdumlaufbahn und der axialen Neigung, die sich auf die scheinbare Bewegung der Sonne am Himmel auswirken. Indem wir diese Faktoren in die Berechnung einbeziehen, können wir die UTC-Zeit von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang für jeden Ort auf der Erde genau bestimmen.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Ergebnis der Gleichung in UTC-Zeit angegeben wird. Daher müssen Sie es möglicherweise in Ihre Ortszeit umrechnen und gegebenenfalls die Sommerzeit berücksichtigen, um die genaue Zeit des Sonnenaufgangs oder Sonnenuntergangs für Ihren spezifischen Standort zu erhalten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Kombination von Längengrad, Stundenwinkel und Zeitgleichung bei der Berechnung von Sonnenauf- und -untergang ein genaues Verständnis dieser Ereignisse ermöglicht, was für verschiedene Anwendungen, wie die Optimierung der Solarenergieproduktion, die Planung von Outdoor-Aktivitäten oder die Vorhersage des Tageslichts, unerlässlich ist Stunden für landwirtschaftliche Zwecke.

Sonnenmittag berechnen

Der Sonnenmittag ist der Zeitpunkt, an dem die Sonne an einem bestimmten Ort ihren höchsten Punkt am Himmel erreicht, direkt über dem lokalen Meridian. Es ist die Zeit, in der die Sonne genau im Norden oder Süden steht (abhängig vom Breitengrad des Beobachters) und die Schatten am kürzesten sind. Der Sonnenmittag ist für verschiedene Anwendungen wie die Ausrichtung von Solarmodulen und die architektonische Gestaltung von entscheidender Bedeutung, da er den täglichen Höchststand der Sonne darstellt.

Die Gleichung für den Sonnenmittag (Snoon) lautet wie folgt:

Snoon = 720 – 4 * Längengrad – Äqzeit

In dieser Gleichung stellt der Längengrad den Längengrad des Beobachters in Grad dar (positiv östlich des Nullmeridians) und eqtime ist die Zeitgleichung (in Minuten). Das Ergebnis gibt die Zeit des Sonnenmittags in UTC an, die bei Bedarf in die Ortszeit umgerechnet werden kann.

Abschluss

Das Verständnis des Sonnenstands und der Berechnungen von Sonnenauf- und -untergang ist für zahlreiche Anwendungen von entscheidender Bedeutung, beispielsweise für die Optimierung der Solarenergieproduktion, Architekturdesign, Landwirtschaft und Veranstaltungsplanung im Freien. Die in diesem Blogbeitrag bereitgestellten Gleichungen und Konzepte ermöglichen es Ihnen, die Position der Sonne am Himmel und den Zeitpunkt von Sonnenaufgang, Sonnenuntergang und Sonnenmittag für jeden Ort auf der Erde genau zu bestimmen.

Wir ermutigen die Leser, diese Gleichungen und Konzepte in ihren eigenen Projekten oder Forschungen zu verwenden, da sie wertvolle Einblicke in das Verhalten der Sonne und ihre Auswirkungen auf unser tägliches Leben bieten. Genaue Sonnenstands- und Sonnenaufgangs-/Sonnenuntergangsberechnungen können technische Bereiche im Zusammenhang mit Solarenergie, wie z. B. das Design von Photovoltaiksystemen und solarthermischen Anwendungen, erheblich verbessern, indem sie die Optimierung der Ausrichtung von Solarmodulen, die Maximierung der Energiegewinnung und die Verbesserung der Gesamtsystemeffizienz ermöglichen. Darüber hinaus können diese Berechnungen zur architektonischen Gestaltung beitragen und eine bessere Nutzung von natürlichem Licht und passiver Solarheizung ermöglichen, was zu Energieeinsparungen und einem höheren Komfort für die Bewohner führen kann.